Jun的部落格

數學名詞的界定為數學系統發展的根本要件，在國民小學的教學中，卻是容易被忽略的一環。本文除對教師一般常見的國民小學幾何名詞異議做了澄清之外，亦對現行梯形的定義提出另一種看法與建議。希望藉本文的討論，引發教師對於數學名詞定義的關注，進而協助學生培養嚴謹的數學學習態度。 

壹、研究動機

定義、公理與公設為建立數學系統的根基，透過嚴格邏輯概念，逐漸推導出相關定理，進而建構出無矛盾的數學系統。定義在此數學系統中，應該是被規範、明確而無爭議的，也就是說同一定義不該有相異的見解。

在數學教學研討場合中，常面臨圖形定義與分類上的爭議，對於相關問題，因每位教師對於數學有獨特的學習經歷，總存在難以推翻的固執看法，問題往往隨著研討時間的中止，而留下未有共識的結論。

此研究中部分問題，其實透過資料的查閱，即能有明確的答案，只是部分教學現場的老師往往憑藉舊有經驗來教學，所以容易不自覺傳遞錯誤觀念。希望透過此研究，協助觀念的澄清。

部分問題仍有爭論，透過此研究傳達筆著看法，期待引起更多數學專家與教學先進的關注與討論，進而釐清圖形定義，讓教學者與學生有所依循。 

貳、研究目的

一、對於國民小學數學領域中教師有疑義之幾何相關名詞定義，提出正確或較佳之說明。

二、對於四邊形的分類模式，做系統性的整理。

三、對於各種梯形的定義，做最佳方案的分析。

四、對於數學教學上所用不周延的描述語句，提出較佳之修正方案。 

參、問題分析

一、如何解讀與應用課程綱要中，對於幾何名詞所做的標準說明？

二、四邊形分類模式之探究。

三、梯形的最佳定義的探討。

四、教師於數學教學上可能傳遞錯誤概念的語句分析。 

肆、研究程序

一、彙整相關幾何名詞定義之疑義與爭議問題。

二、彙整相關解釋方案，包含課程綱要、課本、普通字典、專業字典、網路資訊。

三、當各種資訊意義趨於一致時，以課程綱要為最重要的依據，對各種疑義提出建議結論。

四、當各種資訊意義分歧時，藉由具統一看法之幾何分類系統，對各種疑義提出建議結論。

五、依據實際教學需要，對於課程綱要中之標準名詞解釋之項目及內容，提出建議修改方案。

伍、文獻探討

一、數學學習領域的主要內涵(教育部，2003)
包含數、形、量基本概念之認知、具運算能力、組織能力並能應用於日常生活中，了解推理、解題思考過程以及與他人溝通的能力，並能做與其他學習領域適當題材相關之聯結。

二、數學基礎的重要性(劉秋木，2006)
數學在舊有知識之上逐漸衍生出新的概念，例如由減法衍生出負數，由開方衍生出無理數，新的概念一旦被接受，又會衍生出新的概念，於是數學就像蓋大樓一樣，越蓋越高，但其基礎未必穩固，概念的意義可能不明確，數學的原理可能不可靠，所以數學發展了一段時間，總會反省數學的根基。

三、學生的幾何思考發展層次(詹國勳，2004)

(一)  對圖形的完形認知：學生在辨認方形和三角形等形狀時，是將它們看成一個完整個體，並不會去分析這些圖形的性質或區分圖形的屬性。

(二)  對個別圖形的分析：學生能依照圖形的屬性加以定義。

(三)  兩圖形關係的分析：學生能由正方形定義推論出每個正方形皆為菱形。

(四)  推論演繹的能力：能由已知條件，透過具邏輯性的敘述，推論出結果。

(五)  幾何公理的了解：能察覺幾何公理的地位及邏輯在推論演繹系統中的角色。

四、標準名詞解釋舉例(教育部，2003)

(一)  角：共端點兩射線所形成的角。

(二)  直角：角度等於90度的角稱為直角。

(三)  直角三角形：有一內角為直角的三角形。

(四)  菱形：四邊等長的四邊形。

(五)  長方形：四個角均為直角的四邊形，又稱矩形。

陸、研究結論

一、四邊形的認知分析

(一)  一般人容易對四邊形產生的誤解

1. 以為完整的四邊形是包含著邊界範圍的內部區域。

2. 以為圖形的定義要與名詞的字義相關聯。

3. 以為區分四邊形之價值僅止於給予圖形一個專屬名稱。

(二)  四邊形的定義

1. 國民小學階段所探討的四邊形為平面幾何上的凸四邊形。

2. 四邊形在課程綱要中未有定義，參考Hilbert歐氏幾何中對於三角形之定義：若A、B、C為不在同一直線上的三個點，則集合BC∪CA∪AB稱為三角形ABC，記作DABC。線段BC、CA、AB與點A、B、C分別稱為DABC的三個邊及三個頂點。則四邊形可定義為由四個直線邊所形成的封閉圖形。

3. 如欲使定義更明確，須進一步探究點、直線、封閉圖形之定義，例：點為空間中位置之表示，直線為兩點間之最短路徑。但對於小學生來說這樣的探究又顯得多餘。

(三)  誤解來源推測

如至今仍有許多小朋友存有許多錯誤觀念，例如：認為月亮總在晚上出現、月亮會有圓缺變化是因地球的陰影造成的，以上的誤解應是來自先前學習時接收到的錯誤觀念。

故推測教師對於四邊形意義之誤解，應多來自於個人小學時期之學習經驗，進入中學後未有進一步的澄清，以致存有錯誤觀念。

(四)  依據定義所形成之看法

部分數學名詞由外文翻譯，但往往翻譯後無法找到精確文字替代。即使中文已有之名詞，亦應考慮其於數學界已有之定義或教育主管機關所頒布的標準。雖可自行定義進而創造屬於自己的數學系統，但未來可能產生難以與他人溝通的問題，故對於數學名詞之定義除依循課程綱要外，亦應考量國外文獻與數學系統建構之觀點。

數學中所稱的圖係由點與邊所組成的集合(Douglas B.West，1996)，四邊形屬圖形的一種，不包含其內部區域，此點可由前述圖的定義得知。亦可藉由思考圓形定義－平面上和一固定點等距離的所有點形成的圖形稱為圓(教育部，2003)，顯然圓並不包含其內部的區域，由此可澄清原有之錯誤觀念。

當我們指稱一個方形色塊為四邊形時，其實應是指色塊的邊界為四邊形，而數學評量之命題，常要求學生「計算出長方形之面積」，正確的說法應為「計算出長方形的內部區域的面積」。

賦與圖形名稱後，圖形即具備屬於該類圖形應有之性質。依據 van Hiele的幾何思考層次，幾何圖形之學習順序宜由特殊而一般，所具備的性質亦應逐漸遞減，具有較多性質之圖形集合應包含於具有較少性質之圖形集合，對於引導學生體認數學為有系統之科學上，有較正面的意義。

二、關於箏形與菱形、正方形與長方形間是否存在隸屬關係。

(一)  一般人容易對前述圖形產生的誤解

1. 部分教師認為箏形之印象應與實際風箏形狀結合，是否平衡、能否飛翔都需在考慮範圍內，故認為菱形與正方形皆不屬於箏形。

2. 部分教師依據字面解釋認為，長方形應該有一組較長的邊，故正方形因四邊等長，故不屬於長方形的一種。

3. 以上之誤解成因，來自於未能認同數學名詞之定義與名詞字面解釋之間有落差之事實。

(二)  前述各圖形的定義

1. 國民中小學九年一貫課程綱要(教育部，2003)

1-1     長方形:四個角均為直角的四邊形，又稱矩形。

1-2     正方形:四個角均為直角，且四邊等長的四邊形。

1-3     菱形:四邊等長的四邊形。

1-4     箏形:未有定義。

2. 牛頓數學辭典(余文卿，1997)

2-1     長方形(ractangle):係指四角都是直角的四邊形(quadrilateral)，若四邊等長則為正方形(square)。

2-2     正方形(square):四邊等長且具四直角的四邊形。

2-3     菱形(rhombus):係指邊長都相等的平行四邊形(parallelogram)。

2-4     箏形(kite):係指一種具兩對相等鄰邊的四邊形。

(三)  依據定義所形成之看法

長方形定義重點在於角為直角而非邊長，長方形亦未對邊做出限制，故無需因邊長之關係而排除部分元素。嚴格指定正方形非長方形，有如白馬非馬之說，如以集合觀點來看這兩種圖形集合，的確並不等價，而就定義上來說，兩者有著明顯的隸屬關係，亦即正方形為長方形的一種。

箏形定義重點應在於具兩對相等鄰邊，因未對兩組鄰邊是否相等做出限制，故兩組鄰邊相等的箏型(即菱形)，無需被排除於箏形之外。目前課程綱要中對於箏形並無定義，但依數學辭典所載之定義來判斷，二者有明顯之隸屬關係，即菱形屬於箏形的一種。再依正方形的定義來看，正方形亦屬於菱形的一種。

四邊形在分類上與三角形相似，一種以對邊的平行關係作分類，一組以鄰邊的長度關係作分類。前者依平行關係分別定義出梯形、平行四邊形，平行四邊形中加入角為直角的限制，為長方形作出定義。後者依鄰邊的長度關係定義出箏形與菱形。

三、梯形與平行四邊形是否存在隸屬關係亦或是互斥的兩集合?

(一)  現存的疑問   梯形所組成的集合能否包含平行四邊形。

(二)  梯形的各種定義

1. 梯形係只有一組對邊(稱為上底與下底)平行的四邊形。非上底與下底的兩邊，稱為梯形的腰。(國民中小學九年一貫課程綱要)

2. 梯形(trapezium)係指有一組對邊平行，而另一組對邊不平行的四邊形(quadrilateral)。(余文卿，1997)

3. 梯形係只有一組對邊平行的四邊形。(東方出版社編輯委員會，1976)

4. 梯形係只有兩邊平行的四邊形。(陳廖安，2002)

5. 梯形係(trapezium)不等邊的四邊形。(遠東圖書公司編選委員會，1998)

(三)  依據定義所形成之看法

依據前列所查閱的資料，多數辭典為梯形所下的定義與課程綱要中所呈現的定義相符，故梯形與平行四邊形為互斥的二集合。對此結果筆者雖略感疑惑，但卻也是較多典籍共同之結論。

(四)  認為宜修改梯形定義之理由分析

雖然梯形的定義已經明確，但基於以下之理由說明，建議修改梯形定義為：有一對邊平行的四邊形。使平行四邊形所成的集合包含於梯形所成的集合。

1. 當一類圖形被附加了較多的限制條件，往往會較原圖形具有更多獨特的性質，如正方形擁有所有長方形具有的性質，菱形具有箏形的所有性質。隸屬關係確認後，只要確認該圖形為正方形，則所有長方形之性質皆適用，無須多建立一整套正方形的性質。

2. 梯形之所有性質，平行四邊形皆已具備，依建議修改定義後，平行四邊形將為梯形的一種，亦即平行四邊形擁有梯形的所有性質，如：

2-1     梯形中線(梯形兩腰中點的連線)為兩底長度之平均數。

2-2     對角線切割出一組面積相等的三角形及一組相似三角形。

2-3     面積可藉由”(上底+下底)×高÷2”之公式求得。

2-4     兩全等梯形可組合成一個平行四邊形。

3. 菱形為特殊之箏形，但菱形未因其特殊性被排除於箏形之外。正方形亦未因其特殊性被排除於長方形之外，平行四邊形應可視為特殊之梯形，若特別被排除在梯形之外，則與前兩例存在不同的思考邏輯。

4. 在三角形分類中，依邊長特性命名時，可分為三角形、等腰三角形及正三角形，三者間具有相互包含之關係，意即正三角形所成的集合包含於等腰三角形所成的集合，而等腰三角形所成的集合包含於三角形所成的集合，三集合間未有互斥之情況。

5. 在三角形分類中，依最大內角的特性命名時，可分為鈍角三角形、直角三角形與銳角三角形，三集合之間雖為互斥關係，卻具有涵蓋所有三角形的特性，又因在梯形、平行四邊形之外尚有其它類型的四邊形，故依此例作為將平行四邊形排除於梯型之外的理由並不恰當。

6. 依據 van Hiele的幾何思考層次，幾何圖形之學習順序宜由特殊而一般，若能依建議修改定義，則可形成正方形包含於長方形、長方形包含於平行四邊形、平行四邊形包含於梯形、梯形包含於四邊形，如此明確的圖形系統，有助於學生感受到賦予越多限制的圖形具有更多的特殊性質。

柒、討論與建議

一、國民中小學九年一貫課程綱要為教學者最重要的教學疑義解釋依據，但仍有部分教學者對於此書略感陌生，建議各校宜透過領域會議進行宣導與說明。透過此了解此書的內容可以避免許多不必要疑義的產生。

二、部分必要之名詞定義未能於課程綱要中出現，當為釐清相關觀念時，往往需透過研討或資料查詢，不僅費時亦容易產生爭議，如角度、三角形、四邊形等基本名詞仍未納入標準名詞解釋。

三、課程綱要中部分名詞解釋未能有效解釋該名詞，如角的定義為：共端點的兩射線所成的角。用角來解釋角，終究不能稱為良好的解釋。

四、數學學者對於梯形定義並不在意，關心者僅為數學教育人員及學習者，故難以從高階數學典籍找到相關梯形定義依據，建議數學教育學者能協助確立梯形之定義。

五、建議教育主管機關宜明確並以統一語法定義，使學生更容易理解各圖形相互隸屬關係。建議各圖形定義之如下:

(一)  梯形係有一組對邊平行的四邊形。
說明：理由詳見”認為宜修改梯形定義之理由分析”。

(二)  正方形:四邊等長的長方形。
說明：以長方形為基礎作為定義，避免產生正方形不是長方形的錯誤觀念。

(三)  箏形:兩組鄰邊等長的凸四邊形。
說明：97年課程綱要中已為箏形做出定義，定義為有兩組鄰邊相等的四邊形，此定義將使似飛鏢之四邊形納入箏型之中，故特別提出修正建議。

六、長方形若能將名稱統一為矩形，定義為內角皆為直角的平行四邊形，又稱為長方形。將可避免因字面意義造成誤解。

七、五年級於梯形面積教學時，宜一併帶入梯形之定義，避免以歸納方式產生對於梯形之狹隘印象。

八、數學上精確的圖形無法以手工或機械繪出，上課中所傳達的概念往往僅是圖形的操作型定義，教師於評量時應留意試題內容之呈現方式，如透過影印複製，試卷上之正方形可能變形為長方形(原稿可能就不是精確的正方形)。依作圖程序繪出的角也不見得是直角，平行的兩線段在評量題本上往往也不等長，需配合文字說明與符號標示才能使試題正確陳述。

九、建議教師在教育主管機關對於各圖形定義未能統一之前，各型態之評量，將本文中爭議之問題做為試題時應格外注意。如：

(一)  下列各圖何者為長方形？
說明：當選項中包含正方形時，應特別注意題目之說明。

(二)  下列哪個平行四邊形的面積最大？
說明：四邊形若依定義而言並無面積可言。

(三)  這個角是幾度？
說明：優角(大於180度的角)也是角，應指出所要度量的位置。

捌、結語

在眾多知識中，各種知識系統的發展，都是源自於最基礎的觀察、假設，透過實驗與邏輯推演，逐漸完備整個知識系統。而其中數學系統為最穩固、精確之科學，因其發展過程中，純粹以邏輯推演作為發展策略，未有因實驗而衍生的誤差。也因為求穩固與精確，所用的文字亦需精準而有系統性。

以力學為例，古典力學系統的發展，物體質量不變為其所依據的假設之ㄧ。依據牛頓運動第二定律「物體的加速度與物體所受的淨力成正比，並和物體的質量成反比」，可以推論出在無阻力的狀況下，對一物體持續施以同一方向之力，物體會持續增加速度，甚至超越光速。

但根據愛因斯坦的相對論，沒有任何物體或信息運動的速度可以超過光速。會發生矛盾的原因竟是最初的質量假設有誤。當物體速度改變時，質量同時會有微量的變化，當速度接近光速時，物體質量會大到近乎難以加速。慶幸的是所見在地球表面運動的物體，速度並不高，所以古典力學雖然與真實的世界規律有所誤差，卻仍有其實用的價值。

相較於古典力學，數學系統不容許有這樣些微的誤差，一個角的角度即便為90.000001度，也不能稱它為直角。生活中的語言往往沒有那麼精確，例如人們常說輪胎是圓形的、餅乾是正方形的，皆是不符數學定義的生活語言。我們所接觸的學生，或許無須給予這麼嚴格的要求，但如何培養數學學習的嚴謹態度、建立數學與生活的連結，卻是國民小學教育階段教師所該努力的重要目標，而明確界定數學名詞，應是達成此目標的重要策略之ㄧ。

參考書目

一、中文部份

教育部(2003)。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。臺北：教育部。

劉秋木(2006)。國小數學科教學研究。臺北：五南

余文卿(1997)。牛頓數學辭典。臺北：牛頓。

陳廖安(2002)。新世代國語辭典。臺北：康軒。

詹國勳(譯)(2004)。數學的學習與教學。臺北：心理。

東方出版社編輯委員會（1976）。新編東方國語辭典（初版）。臺北：東方。

遠東圖書公司編選委員會(1998)。遠東袖珍英漢辭典。臺北：遠東。

二、英文部分

Douglas B.West(1996).Introduction to Graph Theory.Upper Saddle River,NJ:Prentice Hall.